Bagaimana cara membuktikan 1+1=2?
Giuseppe Peano adalah seorang matematikawan Italia yang bekerja di logika matematika dan teori himpunan di akhir abad 19 dan awal abad 20. Dia mengembangkan apa yang sekarang dianggap sebagai standar axiomatisasi bilangan cacah. Dalam modelnya, (Peano Axioms):
“zero is a primitive notion which, when added to any number, just gives you the number you first started with. A second primitive notion is that of a successor of any number. In order to add a number to the successor of another number you just take the successor of the result of adding the two numbers. These primitive notions are axioms which are meant to be “obvious” and which everyone agrees upon.”
Dalam sistem Peano, satu didefinisikan sebagai penerus dari nol, dan dua didefinisikan sebagai penerus dari satu (atau penerus penerus dari nol). Jadi “fungsi” penerus hanya membuat Anda menghitung bilangan berikutnya seperti yang Anda harapkan.
Satu ditambah satu sama dengan satu ditambah penerus dari nol (dengan definisi dari satu).
Tapi itu sama sebagai penerus dari satu ditambah nol (oleh gagasan dasar kedua).
Tapi itu sama sebagai penerus dari satu (oleh gagasan dasar pertama kita).
Tapi itu adalah definisi dari dua.
Jadi satu ditambah satu sama dengan dua.
Quod erat demonstrandum.
Tapi itu sama sebagai penerus dari satu ditambah nol (oleh gagasan dasar kedua).
Tapi itu sama sebagai penerus dari satu (oleh gagasan dasar pertama kita).
Tapi itu adalah definisi dari dua.
Jadi satu ditambah satu sama dengan dua.
Quod erat demonstrandum.
Matematikawan akrab dengan simbol-simbol lucu (seperti terbalik “A” yang berarti “untuk semua”) dan cepat lupa bahwa itu membuat hal-hal mudah terlihat seperti omong kosong untuk non-matematikawan.
P1: 1 adalah bagian dari N (bilangan cacah)
P2: jika x adalah bagian dari N, maka “penerus” x ada di N
P3: tidak ada x yang melengkapi x’=1 (penerus x adalah 1)
P4: jika x bukan 1, maka ada y sehingga y’=x
P5. jika S (suksesor, penerus) adalah subset (bagian) dari N, 1 ada di dalam S, dan implikasinya ada (x dalam S ==> x’ dalam S), maka S = N
P2: jika x adalah bagian dari N, maka “penerus” x ada di N
P3: tidak ada x yang melengkapi x’=1 (penerus x adalah 1)
P4: jika x bukan 1, maka ada y sehingga y’=x
P5. jika S (suksesor, penerus) adalah subset (bagian) dari N, 1 ada di dalam S, dan implikasinya ada (x dalam S ==> x’ dalam S), maka S = N
kemudian harus mendefinisikan secara rekursif :
a dan b di dalam N. Kalau b = 1, maka definisikan a + b = a’
(Menggunakan P1 dan P2). Kalau b bukan 1, maka c’ = b, dengan c di dalam N
(Menggunakan P4), dan definisikan a + b = (a + c)’.
Lalu definiskan 2:
Def: 2 = 1′
2 berada di dalam N by P1, P2, dan definisi dari 2.
Teorema :
1+1 = 2
Bukti :
gunakan bagian definisi dari + dengan a = b = 1.
kemudian 1 + 1 = 1′ = 2
Q.E.D.
a dan b di dalam N. Kalau b = 1, maka definisikan a + b = a’
(Menggunakan P1 dan P2). Kalau b bukan 1, maka c’ = b, dengan c di dalam N
(Menggunakan P4), dan definisikan a + b = (a + c)’.
Lalu definiskan 2:
Def: 2 = 1′
2 berada di dalam N by P1, P2, dan definisi dari 2.
Teorema :
1+1 = 2
Bukti :
gunakan bagian definisi dari + dengan a = b = 1.
kemudian 1 + 1 = 1′ = 2
Q.E.D.
Komentar
Posting Komentar